Numerus transcendens

Formula:L Numerus transcendens vel transcendentalis est numerus realis vel complexus qui algebraicus non est.

Systemata Numerica Mathematicae

Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb{N}$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi $\mathbb{P}$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb{Z}$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales $\mathbb{Q}$ Reales $ℝ$ Irrationales Numerus pi $\pi =3.14159265358979\dots$ Numerus Euleri $e=2.718281828459045\dots$ Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus imaginarius $i=\sqrt{-1}$ Quaterni $ℍ$ Octoni $𝕆$ Infinitas $\mathrm{\infty }$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

Sit $x\in ℝ$ numerus transcendens. Tunc nullus est $n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ et nulli sunt $a_i\in \mathbb{Q}(0\le i\le n-1)$, ut $\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\cdot x^i+x^n=0$ sit.

Confirmatum est certos numeros transcendentes esse posse per argumenta anno millesimo octingentesimo quadragesimo quarto ab Iosepho Liouville proposita, qui genus numerorum transcendentium (Liouville numeri) construxit; inter hos Liouville constans invenitur:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\dots$

Exempla notarum quantitatum transcendentium:

• Numeri π et e et omnes numeri eis multiplicati sunt transcendentes (ad demonstrationem videndam).

Functio transcendentalis definitur ut functio quae non sit algebraica; functio algebraica est polynomium vel ratio polynomiorum vel alia functio ex potestatibus rationalibus facta. Functiones exponentialis, logarithmica, trigonometricae, hyperbolicae et gamma exempla sunt functionum transcendentium.

Si $f(x)$ est functio algebraica, et x est numerus algebraicus, tunc valor $y=f(x)$ numerus quoque algebraicus erit. Si vero x est numerus transcendentalis, f(x) potest etiam transcendentalis esse.

Attamen, si $f(x)$ est functio transcendentalis, $y=f(x)$ potest numerus transcendentalis vel numerus algebraicus esse. Exempli gratia, sin(π) = 1 (x est numerus transcendentalis, y numerus algebraicus), et sin(1) \approx 0.8414709848 (x est numerus algebraicus, y numerus transcendentalis).

Praeterea, omnes numeri transcendentes sunt irrationales, sed non omnes numeri irrationales sunt transcendentes. Numeri irrationales algebraici ex aequationibus polynomialibus cum coefficientibus rationalibus oriri possunt, sicut numerus √2, qui radix aequationis $x^2-2=0$ est, sed numeri transcendentes eiusmodi vinculis non tenentur.