Functio quadratica

Functio quadratica est functio formae $f (x) = a x^{2} + b x + c; a, b, c \in ℝ, a \neq 0$ . Graphium talis functionis parabola est.

Proprietates

1.) Omnes functiones quadraticae continuae sunt atque omnibus numeris realibus definiri possunt.

2.) Ad monotoniam functionum quadraticarum parametrum a pertinet. Si $a > 0$ , primum parabola stricte monotone descendit usque ad solum extremum (hic minimum), dum stricte monotone ascendit. Si $a < 0$ , primum stricte monotone ascendit usque ad maximum, dum stricte monotone descendit.

3.) Derivatio talis functionis: $(a x^{2} + b x + c)^{'} = 2 a x + b$ . Quod haec functio linearis atque talibus functionibus solum unum zerum est, functio quadratica exacte unum extremum habet.

4.) Integralis functionis quadraticae: $\int (a x^{2} + b x + c) d x = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + c x + d; d \in ℝ$

5.) Problemum reperiendi zera functionum quadraticarum valde magnum est, nam per eum numeri complexi nati sunt:

$a x^{2} + b x + c = 0$ ,

ergo $a x^{2} + b x = - c$ ,

ergo $a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} = \frac{b^{2}}{4 a} - c$ ,

ergo $(\sqrt{a} x + \frac{b}{2 \sqrt{a}})^{2} = \frac{b^{2}}{4 a} - c$ ,

ergo $\sqrt{a} x_{1, 2} + \frac{b}{2 \sqrt{a}} = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a} - c}$ ,

ergo $\sqrt{a} x_{1, 2} = - \frac{b}{2 \sqrt{a}} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a} - c}$ ,

ergo $\sqrt{a} x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 \sqrt{a}}$ ,

ergo $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Functioni ergo duo zera sunt, si numerus $D = b^{2} - 4 a c$ (discriminans, quod tres casus solutionum aequationis/zerorum functionis discriminat) positivus, unum zerum, si 0 est. Si autem $D < 0$ , functio nulla zera realia habet. Amplificando $ℝ$ , mathematici copiam numerorum complexorum $ℂ$ creaverunt. Hac in copia etiam casu $D < 0$ zera, sed complexa sunt.

6.) Talis functio exacte unum extremum habet; computatur per derivationem functionis:

$(a x^{2} + b x + c)^{'} = 2 a x + b$

Zerum derivationis extremum dat:

$2 a x + b = 0$ ,

ergo $x = - \frac{b}{2 a}$

Si hic valor in termino functionis substituitur hicque transformatur, coordinatum y extremi reperiri potest: $S (- \frac{b}{2 a} | \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$

7.) Derviatio secunda harum functionum semper numerus realis $\neq 0$ est, itaque quibus nulla puncta inflexionis sunt.

Formula:NexInt

Nexus externus

"maths online function plotter" - instrumentum quo graphia functionum describi possunt (lingua anglica)

Functio quadratica

Proprietates

Nexus externus

Tabula navigationis

Quaerere