Continuitas (mathematica)

Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae:
$\begin{array}{cc}& f:[-1,1.5]\to [-1,1.5]\\ & x\mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{array}$

Continuitas in topologia est functio realis dominii $f:I\to ℝ$ super intervallo reali $I\subseteq ℝ$ continua est, si graphum functionis $f$ stilo non sublato describi potest. Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis; pars quae de rebus discretis tractat est mathematica discreta, in qua sunt calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria," arithmetica integrorum, et probabilitas.

Definitio pro functionis realibus

Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

1. Regula Epsilon-Delta:$f:D\to ℝ$ continua in $x_0\in D$ est, si
   omnibus $\epsilon >0$ est $\delta >0$, ut omnibus numeris dominii $x\in D$, qui obtemperent
   $|x-x_0|<\delta$, valeat $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$.
2. Regula sequentiarum: $f:D\to ℝ$ est continua in $x_0\in D$, si, cum quaelibet sequentia $(x_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ $(x_k\in D)$ posita est, quae ad $x_0$ convergit, etiam $f(x_k)$ ad $f(x_0)$ convergit.

Functio appellatur continua in $D$, si est continua in locis omnibus dominii.

Si est $x_0\in D$, ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.

Exempla

• Functiones $\sin :ℝ\to ℝ,x\mapsto \sin x$ et $\cos :ℝ\to ℝ,x\mapsto \cos x$ continuae sunt in $ℝ$.
• Functio signi $\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$
  in omnibus locis $x\in ℝ\setminus \{0\}$ continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes $\underset{x\to 0}{\lim }\mathrm{sgn}(x)$ non est.
• Functio Dirichlet

  $f:ℝ\to ℝ,f(x):=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q},\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q},\end{array}$

ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

• 
  Functio discontinua
• 
  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de laevo latere
• 
  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de dextro latere

Definitio pro functionis spatiorum topologicorum

Est defintio usitata:

1. Regula copiarum apertarum: Sint $X$et $Y$spatia topologica, $f:X\to Y$ functio et $x_0\in X$. $f$continua in $x_0$est, si pro qualibet circumiecta $V$ a $f(x_0)$est circumiecta $U$a $x_0$, ut $f(U)\subset V$ sit.

Theoremata

• Si functiones $f$ et $g$ continuae in dominio communi $D$ sunt, tum et $f+g$ et $f-g$ et $f\cdot g$ continuae super $D$ sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus $x_0\in D$ ut $g(x_0)=0$) sint, tum et $\frac{f}{g}$ continua est.
• Compositio $f\circ g$ duarum functionum continuarum est continua.

• Continuitas functionis inversae:

Si $I$ est intervallum in $ℝ$ et $f:I\to ℝ$ est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli $I$ sub $f$ est intervallum $J$,
$f:I\to J$ est biiectiva, et functio inversa $f^{-1}:J\to I$ est continua.

• Theorema valorum omnium acceptorum:

Si $f:[a,b]\to ℝ$ est functio continua, cui $a<b$ et $f(a)<f(b)$ valet, tum omnibus numeris $d\in [f(a),f(b)]$ est $x\in [a,b]$, ut $f(x)=d$ valeat.

Item in casu $f(a)>f(b)$ et $d\in [f(b),f(a)]$.

• Theorema extremitatum acceptarum:

Si $f:[a,b]\to ℝ$ est functio continua, tum sunt numeri $t,h\in [a,b]$, ut

$f(t)\le f(x)\le f(h)$ omnibus numeris $x\in [a,b]$ valeat.

• Analysis mathematica
• Functio differentiabilis
• Limes (mathematica)
• Polynomium
• Theoria copiarum
• Topologia

Nexus externi

• nexus ad paginam theodiscam continuitatem explicantem
• mathematik.de – explicatio visualis regulae Epsilon-Delta