Sequentia (mathematica)

Sequentia 1, 3/8, 2/9, 5/32, 2/25, ..., id est $\frac{n+1}{2n^2}$ Limis sequentiae est 0.

Sequentia in mathematica omnis quidem functio $f:\mathbb{N}\cup \{0\}\to ℝ,n\mapsto f(n)=:(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}$ appellatur. Summa membrorum sequentiae cuiusdam est series, quae summa exstat si sequentia summarum partium series limitem habet.

Exempla

• Sit $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}=\frac{n+1}{2}.$ Sequentia numerorum tum est $\frac{1}{2},\frac{2}{2}=1,\frac{3}{2},\frac{4}{2}=2,\dots .$
• Sequentia Fibonacci: Sequentia Fibonacci est sequentia recursive definita. (Id est: numeri principales sequentiae positi sunt et formula ad numerum proximum numeris positis putandum data est).

$x_0:=0,x_1:=1,x_n:=x_{n-2}+x_{n-1}$. Ergo sequentia est: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... .

Limes et puncta auctus sequentiae

Limes sequentiae

Limes sequentiae hoc modo definitus est:

$a\in ℝ$ est limes sequentiae $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}:⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{N}_{\epsilon }\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\ge N_{\epsilon }:|x_n-a|<\epsilon$. Si sequentiae est limes $a$, scribitur: $a:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n,$ et sequentia dicitur ad $a$ convergere. Sin non est talis $a$, sequentia dicitur divergere.

Exempla

• Sequentiae superiori scriptae $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}=\frac{n+1}{2}$ et $x_0:=0,x_1:=1,x_n:=x_{n-2}+x_{n-1}$ divergunt.
• Sequentia autem ${\left(\frac{x_{n-1}^F}{x_n^F}\right)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}$, ubi $(x_n^F{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}$ sit sequentia Fibonacci, convergit et limes est $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n-1}^F}{x_n^F}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=:\varphi$ numerus divinae proportionis.
• Sit $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=\frac{1}{n}.$ Tum $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0.$

Puncta auctus sequentiae

Definitio: Numerus $a\in ℝ$ est punctum auctus sequentiae $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}:⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }m\ge n:|x_m-a|<\epsilon$

Exempla

• Sequentiae $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=\frac{1}{n}$ est punctum auctus 0.
• Sequentiae $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}=(-1{)}^n$ sunt puncta auctus et 1 et -1.
• Sequentiae Fibonacci $(x_n^F{)}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}$ non est punctum auctus.

Cohaerentia limitis punctorumque auctus sequentiae

1. Sit $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sequentia aliqua convergens et $a:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ sit eius limes. Tum a est punctum auctus.
2. Sit $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ sequentia aliqua quae punctum auctus $a$ habet. Tum est sequentia partitiva $(x_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$, quae habet punctum auctus $a$ limitem.

Theoremata limitum

Si est limes $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$, tum omni numero $c\in ℝ$ sunt limites hi, qui eo modo putentur:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }c\cdot x_n=c\cdot a,$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(c+x_n)=c+a,$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(c-x_n)=c-a.$

Si insuper $a\ne 0$ est, tum etiam $x_n\ne 0$ a quodam numero indicabili $N_0$ et sequentiae partitivae $n>N_0$ valet:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{c}{x_n}=\frac{c}{a}.$

Si sunt limites et $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ et $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=b$, tum etiam limites hi sunt, qui eo modo putentur:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n+y_n)=a+b,$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n-y_n)=a-b,$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n\cdot y_n)=a\cdot b.$

Si insuper $b\ne 0$ est, tum etiam $y_n\ne 0$ a quodam numero indicabili $N_0$ et sequentiae partitivae $n>N_0$ valet:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}.$

• Fibonacci
• Divina proportio
• Limes functionis