Combinatio linearis

In mathematica, combinatio linearis est summa copiae vectorum scalaribus quibusdam quorumque multiplicatorum.

Definitio

Sit spatium vectoriale $V$; combinatio linearis vectorum $v_1...v_k$ ex spatio $V$ coefficientibus ${\alpha }_1...{\alpha }_n\in ℝ$, est is vector:

${\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n\in V$

Subspatium genitum

Si sunt vectores $v_1...v_n$, eorum subspatium genitum est copia universarum possibilium combinationum linearium eorum:

$Span(v_1...v_n)=\{{\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n:{\alpha }_1...{\alpha }_n\in ℝ\}$

Potest demonstrari subspatium genitum esse subspatium vectoriale. Subspatium genitum enim clausum est summae:

$({\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n)+({\beta }_1{v}_1+...+{\beta }_n{v}_n)=({\alpha }_1+{\beta }_1)v_1+...+({\alpha }_n+{\beta }_n)v_n$

quod rursus est combinatio linearis vectorum $v_1...v_n$.

Simili ratione, subspatium genitum clausum est multiplicationi scalaribus:

$\lambda ({\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n)=(\lambda {\alpha }_1)v_1+...+(\lambda {\alpha }_n)v_n$

quod est combinatio linearis ipsorum vectorum.

Subspatium genitum igitur est subspatium vectoriale, quia clausum est summae multiplicationique scalaribus.

Huius rei unum corollarium est systemati aequationum $Ax=b$ adesse solutiones modo si vector $b$ subspatio inest genito columnarum matricis $A$.

Independentia linearis

Dicitur copia vectorum $v_1...v_n\in V$ ex spatio vectoriali $V$ lineariter dependens si sunt coefficientes reales ${\alpha }_1...{\alpha }_n\in ℝ$ quibus valeat:

${\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n=\underset{\_}{0}$

neque sunt omnes nulli, ergo adest ${\alpha }_i$ unus vel plus qui non $=0$.

Nisi vectores sunt lineariter dependentes, lineariter independentes dicuntur, eisque modo valet ${\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n=\underset{\_}{0}$ cum omnes coefficientes nulli sint: ${\alpha }_1...{\alpha }_n=0$.

Independentia linearis vectorum aliquorum potest probari ex vectoribus faciendo matricem $A=|v_1...v_n|$ et systema aequationum solvendo $Ax=\underset{\_}{0}$: cum enim sola solutio sit $x=\underset{\_}{0}$, vectores sunt independentes, quod si adesset solutio $\beta$ quae non esset nulla, tum valuisset ${\beta }_1{v}_1+...+{\beta }_n{v}_n=0$, quae esset definitio independentiae linearis.

Vide etiam

• Vector (mathematica)
• Systema coordinatarum

Bibliographia

• Abate, De Fabritiis, 2015. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.