Vector (mathematica)

Vector a = (a_x, a_y, a_z). Est etiam combinatio linearis vectorum i, j, k qui basim spatii explicant: a = a_x i + a_y j + a_zk)

Vector (-oris, m) appellatur collectio in $n$ dimensiones redacta quae $n$ elementa continet. In geometria Euclideana vectores aequant structuras magnitudinem et directionem habentes, quae velut punctum quoddam in aliud vehuntur, de quo verbo etiam nomen "vector" ducitur. Vectores igitur saepe notis sagittiformibus describuntur, quia sagittae quoque directionem ac longitudinem habent. Vectores latissime variis in disciplinis adhibentur, imprimis in artibus mathematicis et in physicis, necnon in aliis sicut oeconomicis, chemicis, informaticis, ceterisque.

Fundamenta mathematica

Gravitas vectorum

Problema

Trianguli ABC et XYZ

Omnia puncta per coordinata sua exprimi possunt, velut punctum $(2,3)$. Ad multa problemata geometriae solvenda figurae geometricae in systemate coordinatorum collocantur.

Exempli gratia, trianguli ABC ($A(0,0)$, $B(5,0)$, $C(2,4)$) altitudo puncti C, $h_c$, sine ulla computatione cognoscitur: $h_c=4(e)$.

At multa problemata eius modi sine vectoribus non tam simpliciter solvuntur. Exempli gratia: si altitudo puncti Z trianguli XYZ ($X(0,0)$, $Y(3,2)$, $Z(2,4)$) computanda est, hoc sine vectoribus vix peragi potest. Nam problema poscit, ut punctum P in directione $g_1$ per X et Y situm ita quaeratur, ut directio $g_2$ per Z et P cum $g_1$ angulum rectum circumcludat. Sed nullis vectoribus adhibitis nihil nisi aequationes functionum directionum $g_1$ et $g_2$ graphia habitantes computari possunt ac per computationem generalem punctum P, quod directionem quaesitam dat, reperiri potest.

Haec autem quaestio usu vectorum multo facilius peragitur. Quae quaestio simul unum ex iis exemplis praebet quae introductionem usumque vectorum laudant. Est etiam categoria geometriae quae tota in usu vectorum versatur: geometria analytica.

Definitio exacta

Vector exacte definitur, ut sit copia omnium sagittarum (superficiei planae aut spatii) parallelarum, quibus eadem longitudo directioque sunt. Plerumque vector uno elemento suae sagittarum copiae datur quod sagitta "repraesentans vectoris" nominatur.

Vector ergo non solam sagittam, sed copiam infinitam sagittarum designat. Saepe autem duo vocabula permiscentur: repraesentans vectoris pro ipso vectore habetur. Vectoris repraesentans (= sagitta) et ipse vector ita inter se differunt, ut sagittae suos quosque locos certos obtineant, cum vectores omnes locos suarum sagittarum (globaliter) designent.

Coordinata vectorum

In mathematica vector significatur coordinatis duobus (si vector planus est) aut tribus (si spatialis est), aut pluribus (si spatium plures dimensiones habet): iis quae capienda sunt, si via a puncto capitis repraesentantis vectoris ad punctum finis eundum est. Exempli gratia, ei sagittae quae a puncto $A(2,3)$ ad $B(5,5)$ fert coordinata sunt $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}5-2\\ 5-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$. Haec quoque coordinata eius vectoris sunt quem haec sagitta repraesentat.

Vectores et puncta coordinata habent. Vector, qui eadem coordinata atque quoddam punctum P habet, repraesentantem ab origine $(0,0)$ ad hoc punctum patentem habet et vector positionis $\overrightarrow{p}$ puncti nominatur.

Puncto capitis atque finis dato coordinata cuiusdam sagittae semper hac formula matricis computari possunt:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$ (regula "hasta de apice subtrahenda est").

Operationes vectorum

Regula "hasta de apice subtrahenda est" iam quandam operationem vectorum, id est subtractionem, continet, sed talis operatio primo definienda est. Cum definitio operationum vectorum in aspectibus graphicis posita sit, operationes ad multa problemata solvenda usurpari possunt.

Additio vectorum

Additio duorum vectorum tertium vectorem dat atque ita definitur: Hasta sagittae repraesentantis cuiusdam vectoris summandi in apicem alterius summandi ponenda est. Sagitta, quae ab ima hasta primae sagittae repraesentantis ad apicem secundae (cuius hasta eodem loco atque apex alterius sita est) perducit, repraesentans summae duorum vectorum est.

In genere summa vectorum $\overrightarrow{a}$ ac $\overrightarrow{b}$ computari potest hac formula:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_a+x_b\\ y_a+y_b\end{array}\right)$

Subtractio vectorum

Subtractio per additionem definiri potest: Subtractio $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ additionem vectoris $-\overrightarrow{b}=-\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x_b\\ -y_b\end{array}\right)$ (vectoris adversi vectoris $\overrightarrow{b}$) ad vectorem $\overrightarrow{a}$ significat. Ergo differentia duorum vectorum est:

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_a-x_b\\ y_a-y_b\end{array}\right)$

Multiplicatio scalaris vectorum

Vectoribus duae species multiplicationis sunt: multiplicatio scalaris (vel productum interius) atque multiplicatio transversa (vel multiplicatio in forma crucis).

Scalaris multiplicatio duorum vectorum $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ sic definitur: Primum productum longitudinis repraesentantis vectoris $\overrightarrow{a}$ atque proiectionis normalis repraesentantis vectoris $\overrightarrow{b}$ in repraesentantem vectoris $\overrightarrow{a}$ computandum est, deinde aut hoc signo positivo (+), si proiectio normalis eandem directionem atque repraesentans $\overrightarrow{a}$ habet, aut signo negativo (-), si proiectio directionis diversae est, ornatur. Hic numerus productum scalare vectorum $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ nominatur. Computari potest etiam formula:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ = $\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=x_a\cdot x_b+y_a\cdot y_b$.

Si duo vectores anguli recti sunt, productum scalare eorum 0 est.

Multiplicatio transversa vectorum

Altera multiplicatio vectorum multiplicatio tranversa nominatur (vel multiplicatio "in forma crucis"). Quae tantum vectoribus spatialibus definitur.

Quod ad operationes iam dictas pertinet (id est, additio, subtractio, multiplicatio scalaris duorum vectorum), eae pariter cum vectoribus spatialibus definitae sunt. Exempli gratia additio duorum vectorum spatialium ita fit:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_a+x_b\\ y_a+y_b\\ z_a+z_b\end{array}\right)$.

Multiplicatio transversa vectorum spatialium $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ productum dat vectorem tertium, cui haec proprietates sunt:

1.) Repraesentans vectoris $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ et cum repraesentante vectoris $\overrightarrow{a}$ et cum repraesentante $\overrightarrow{b}$ angulum rectum circumcludit.

2.) Longitudo repraesentantis producti transversi aequalis areae est atque parallelogramma, quod a repraesentantibus factorum tenditur.

3.) Sunt semper duo vectores proprietatum 1.) atque 2.), quibus directiones adversae sunt; eorum vector iustus hac regula reperiri potest: Vectores $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ et $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ easdem directiones habent atque primus, secundus, tertius digitus manus dexterae, si hi omnes angulum rectum inter se habentes a manu tenduntur ("regula manus dexterae").

Productum transversum ita computatur:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\det \left(\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ a_3& b_3\end{array}\right)\\ \det \left(\begin{array}{cc}{a}_3& b_3\\ a_1& b_1\end{array}\right)\\ \det \left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$.

Aliquae problemata, quae vectoribus solvi possunt

Quomodo punctum dimidii lineae reperiri possit

Punctis A et B datis, punctum dimidii lineae inter ea ita computari potest:

Sagitta $\overrightarrow{AB}$ a puncto A usque ad B patet. Si solum dimidium sagittae capitur atque ad sagittam positionis puncti A additur, hoc sagittam positionis puncti dimidii quaesiti H dat:

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{AB}$,

ergo $\overrightarrow{OH}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)+\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b-x_a\\ y_b-y_a\end{array}\right)$ (regula "de apice hastam"),

ergo $\overrightarrow{OH}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\cdot x_b-\frac{1}{2}\cdot x_a\\ \frac{1}{2}\cdot y_b-\frac{1}{2}\cdot y_a\end{array}\right)$,

ergo $\overrightarrow{OH}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\cdot x_a+\frac{1}{2}\cdot x_b\\ \frac{1}{2}\cdot y_a+\frac{1}{2}\cdot y_b\end{array}\right)$,

ergo $\overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_a+x_b\\ y_a+y_b\end{array}\right)$,

ergo $\overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$,

ergo $\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}$,

ergo $\overrightarrow{h}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$

Vector positionis puncti H dimidium summae vectorum positionum punctorum A et B aequat.

Exempli gratia, si $A(2|1)$ et $B(4|5)$, $\overrightarrow{h}=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)}{2}=\frac{\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)}{2}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)$, ergo $H(3|3)$.

Completio figurae geometricae; exemplum: parallelogrammum

Si cuiusdam parallelogrammi puncta tria data sunt, quartum punctum figurae vectoribus reperiri potest.

Exempli gratia, puncta $A(1|1)$, $B(3|4)$ et $C(2|5)$ rectanguli cognita sunt punctumque D reperiendum est. Quod $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$, coordinata ita computantur:

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}$,

ergo $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB}$,

ergo $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$,

ergo $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)$

Quartum punctum igitur coordinata $D(0|2)$ habet.

Centrum gravitatis trianguli

Centrum gravitatis computatur per formulam $\overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$, si triangulo anguli in punctis A, B et C sunt.

Triangulum punctorum $A(1|1)$, $B(6|5)$ et $C(2|12)$ igitur centrum gravitatis $S(3|6)$ habet.

Vectores in physica

Physici vectoribus utuntur ad multas magnitudines exprimendas, velut vires. Omnino, omnes magnitudines quibus non solum fortitudo, sed etiam directio est, ita exprimuntur.

Velocitas, exempli gratia, directionem habet. Aliquid non solum celeriter aut lente moveri potest, sed etiam in directionem certam.

Vires

In physica vis significat productum massae et accelerationis, quae in motione cuiusdam rei hac vi effectae observantur.

Exempli gratia, si res aequaliter accelerata movetur (acceleratio $a=5\frac{m}{s^2}$) et huic rei massa $m=20kg$ est, vis effecta fortitudinem $F=100N$ habet (nota bene hoc non vim ipsam esse, sed solum fortitudinem eius; vis semper etiam directionem habet). Vectore directio, quam vis habet, exprimitur.

Si duae aut complures vires eodem tempore rem movent, motio, quae vero peragitur, motionem, quae perageretur, si res a summa virium moveretur, aequat.

Exempli gratia, si res massam $m=5kg$ habens atque in puncto $P(0|0)$ sita a viribus ${\overrightarrow{F}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ et ${\overrightarrow{F}}_2=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)$ movetur, vis, quae vero rem movet, est $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)$. Si nunc unitas longitudinis vectorum $1N$ significat, fortitudines virium sunt: $F_1=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx 3,61N$, $F_2\approx 5,10N$ et $F\approx 7,28N$. Hoc exemplum bene demonstrat vim effectam fortitudine summam summandorum non aequare, cum vectoribus ea vis summa plane sit.

Labor

Si res massae $m$ in directionem datam moveri debet, sane optime laborabitur, si vis, quae adhibetur, $\overrightarrow{F}$, aequalis directionis est. Pessime laborabitur, si vis contrariae directionis usurpatur (id est, $-\overrightarrow{F}$), quia hoc modo res in directionem contrariam trahetur!

Labor qui administratur ergo non solum a fortitudine, sed etiam valde a directione vectoris, qui vim repraesentat, constituitur. In physica terminus "laboris" sic definitur, ut productum scalaris cum factoribus spatio $\overrightarrow{s}$ (ibi spatium vectore exprimitur!) atque vi $\overrightarrow{F}$ aequet:

$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=\pm F_s\cdot s$

Hac in formula $F_s$ longitudinem repraesentantis eius vectoris, qui proiectio normalis vectoris $\overrightarrow{F}$ in spatium $\overrightarrow{s}$ est, atque $s$ longitudinem repraesentantis $\overrightarrow{s}$ designat (vide etiam definitionem multiplicationis scalaris). Labor etiam negativus esse potest; hic casus est, si ${\overrightarrow{F}}_s$ directionem contrariam atque $\overrightarrow{s}$ habet (resque igitur in directionem "falsam" movetur).

Notae

• Algebra linearis
• Geometria analytica
• Spatium vectoriale
• Vector Laplace–Runge–Lenz
• Parallelogrammum virium
• Scalar (physica)

Bibliographia

• Ferrante Neri, Linear Algebra for Computational Sciences and Engineering. Helvetia: Springer, 2016.
• C. E. Weatherburn, Elementary Vector Analysis, with Applications to Geometry and Physics. Londini: G. Bell & sons, 1935.