Basis (mathematica)

Basis in mathematica est copia vectorum spatii vectorialis, quorum combinatio linearis scribi potest omnis spatii vector; quique sunt lineariter independentes.

Definitio

Sit spatium vectoriale $V$. Tum vectorum copia $B$ dicitur basis (finita) spatii vectorialis, si $V$ aequale est subspatio genito illorum vectorum (qui enim sunt systema generatorum), ipsique sunt lineariter independentes.

Potissima inter bases est basis canonica, quae ab his vectoribus fit:

$e_1,e_2...e_n\in {ℝ}^n,e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ ...\\ 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ ...\\ 0\end{array}\right),...,e_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ ...\\ 1\end{array}\right)$

Vectores spatii per basim scripti

Cum copia $B$ sit basis subspatii vectorialis, tunc possunt omnes vectores eius subspatii scribi, uno solo modo, combinatione lineari vectorum basis.

Coefficientes combinationis linearis, qui sunt numeri ${\alpha }_1...{\alpha }_k$ quibus vector $v$ scribitur hac formula:

$v={\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_k{v}_k$

dicuntur coordinatae vectoris $v$ in basi $B=(v_1...v_k)$.

Quando exsistat basis in spatio vectoriali

Haud omnibus spatiis vectorialibus sunt bases finitae, sed potest inveniri, quotienscumque sit spatio vectoriali systema generatorum (quod est copia vectorum quorum subspatium genitum est ipsum spatium vectoriale) esse basim finitam quoque.

Ad hoc demonstrandum, sit subcopia $A$ subspatii vectorialis $V$ et copia vectorum $B\subseteq A$. Haec copia $B$ dicitur systema maximale in $A$ vectorum lineariter independentium cum:

1. Omnes vectores copiae $B$ sint lineariter independentes;
2. Elemento novo copiae $A$ in copiam $B$ illato, vectores copiae $B$ lineariter dependentes fiant.

Bibliographia

• Abate, De Fabritiis. 2015. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.