Logica propositionalis

Formula:LatinitasFormula:ScDub Logica propositionalis, in logica et mathematica, dicitur cognitionis ratio quae praecipue ad argumentorum analyses spectat.

Argumentum quoddam in varias propositiones dividitur; quae appellantur praemisa et deductiones seu conclusiones, quae verae aut falsae possunt esse; quae in denotatione formali litteris A, B, C, etc., repraesentantur et coniunguntur per sex operationes logicas, invicem symbolis repraesentatas, quae sunt: condicionale ($\to$), bicondicionale ($\leftrightarrow$), coniugens ($\wedge$), disiugens ($\vee$), excludens ($⊻$), negans ($\mathrm{\neg }$), et implicans ($⊢$).

Argumentum, cum legibus logicae propositionalis paret, validum esse dicitur; et argumentum validum, cum omnia praemisa eius sunt vera, verum dicitur.

Definitio operationum

Condicionalis

Propositio condicionalis dicit: "Si $p$, tunc $q$". Si $p$ et $q$ praemisa proposita sunt, scimus:

• si $p$ verum est et $q$ verum, $p$$\to$$q$ verum esse;
• si $p$ verum est et $q$ falsum, $p$$\to$$q$ falsum esse;
• si $p$ falsum est et $q$ verum, $p$$\to$$q$ verum esse;
• si $q$ falsum est et $q$ falsum, $p$$\to$$q$ verum esse.

Bicondicionalis

Propositio bicondicionalis dicit: "Si $p$, tunc $q$ si et solum si $q$, tunc $p$." Scimus igitur:

• si $p$ et $q$ vera sunt aut $p$ et $q$ falsa sunt, $p$ $\leftrightarrow$ $q$ verum esse;
• si $p$ falsum est sed $q$ verum est aut $p$ verum est et $q$ falsum est, $p$ $\leftrightarrow$ $q$ falsum esse.

Coniunctio

Propositio coniunctiva dicit: "$p$ et $q$ sunt vera."

• si $p$ et $q$ vera sunt, $p$$\wedge$$q$ verum esse;
• si $p$ aut $q$ falsum est, $p$$\wedge$$q$ falsum esse.

Disiunctio

Propositio disiunctiva dicit: "$p$ vel $q$ verum est."

• si $p$ vel $q$ verum est, $p$$\vee$$q$ verum esse;
• si $p$ falsum est et $q$ falsum est, $p$$\vee$$q$ falsum esse.

Negatio

Propositio negativa dicit: "non $p$." Si $p$ propositio est, scimus,

• si $p$ verum est, $\mathrm{\neg }$$p$ falsum esse;
• si $p$ falsum est, $\mathrm{\neg }$$p$ verum esse.

Leges logicae propositionalis

Argumentum, cum legibus paret, validum esse dicitur. Quae leges in tabula infra ostenduntur.

Leges
Nomen	Symbola	Dictum
Modus ponens	$((p\to q)\wedge p)⊢q$	Si $p$ tunc $q$; $p$; ergo $q$
Modus tollens	$((p\to q)\wedge \mathrm{\neg }q)⊢\mathrm{\neg }p$	Si $p$ tunc $q$; non $q$; ergo non $p$
Syllogismus hypotheticus	$((p\to q)\wedge (q\to r))⊢(p\to r)$	Si $p$ tunc $q$; si $q$ tunc $r$; ergo, si $p$ tunc $r$
Syllogismus disiunctivus	$((p\vee q)\wedge \mathrm{\neg }p)⊢q$	Aut $p$ aut $q$; non $p$; ergo, $q$
Dilemma constructivum	$((p\to q)\wedge (r\to s)\wedge (p\vee r))⊢(q\vee s)$	Si $p$ tunc $q$; et si $r$ tunc $s$; sed $p$ vel $r$; ergo $q$ vel $s$
Dilemma destructivum	$((p\to q)\wedge (r\to s)\wedge (\mathrm{\neg }q\vee \mathrm{\neg }s))⊢(\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }r)$	Si $p$ tunc $q$; et si $r$ tunc $s$; sed non $q$ vel non $s$; ergo non $p$ vel non $r$
Dilemma bidirectionale	$((p\to q)\wedge (r\to s)\wedge (p\vee \mathrm{\neg }s))⊢(q\vee \mathrm{\neg }r)$	Si $p$ tunc $q$; et si $r$ tunc $s$; sed $p$ vel non $s$; ergo $q$ vel non $r$
Simplificatio	$(p\wedge q)⊢p$	$p$ et $q$ sunt vera; ergo $p$ est verum
Coniunctio	$p,q⊢(p\wedge q)$	$p$ et $q$ sunt vera singula; ergo vera sunt una
Additio	$p⊢(p\vee q)$	$p$ est verum; ergo disiunctio ($p$ aut $q$) est vera
Compositio	$((p\to q)\wedge (p\to r))⊢(p\to (q\wedge r))$	Si $p$ tunc $q$; et si $p$ tunc $r$; ergo si $p$ est verum tunc $q$ et $r$ sunt vera
Theorema De Morgan (I)	$\mathrm{\neg }(p\wedge q)⊢(\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q)$	Negare (et $p$ et $q$) idem valet ac (non $p$ vel non $q$)
Theorema De Morgan (2)	$\mathrm{\neg }(p\vee q)⊢(\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q)$	Negare (aut $p$ aut $q$) idem valet ac (non $p$ et non $q$)
Commutatio (1)	$(p\vee q)⊢(q\vee p)$	(aut $p$ aut $q$) idem valet ac (aut $q$ aut $p$)
Commutatio (2)	$(p\wedge q)⊢(q\wedge p)$	(et $p$ et $q$) idem valet ac (et $q$ et $p$)
Commutatio (3)	$(p\leftrightarrow q)⊢(q\leftrightarrow p)$	($p$ idem esse ac $q$) idem valet ac ($q$ esse idem ac $p$)
Associatio (1)	$(p\vee (q\vee r))⊢((p\vee q)\vee r)$	aut $p$ aut (aut $q$ aut $r$) idem valet ac (aut $p$ aut $q$) aut $r$
Associatio (2)	$(p\wedge (q\wedge r))⊢((p\wedge q)\wedge r)$	et $p$ et (et $q$ et $r$) idem valet ac (et $p$ et $q$) et $r$
Distributio (1)	$(p\wedge (q\vee r))⊢((p\wedge q)\vee (p\wedge r))$	et $p$ et (aut $q$ aut $r$) idem valet ac aut (et $p$ et $q$) at (et $p$ et $r$)
Distributio (2)	$(p\vee (q\wedge r))⊢((p\vee q)\wedge (p\vee r))$	aut $p$ aut (et $q$ et $r$) idem valet ac et (aut $p$ aut $q$) et (aut $p$ aut $r$)
Negatio duplex	$p⊢\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }p$	$p$ idem valet ac (non $p$) negare
Transpositio	$(p\to q)⊢(\mathrm{\neg }q\to \mathrm{\neg }p)$	Si $p$ tunc $q$ idem valet ac si non $q$ tunc non $p$
Implicatio materialis	$(p\to q)⊢(\mathrm{\neg }p\vee q)$	Si $p$ tunc $q$ idem valet ac aut non $p$ aut $q$
Aequivalentia materialis (1)	$(p\leftrightarrow q)⊢((p\to q)\wedge (q\to p))$	($p$ idem ac $q$ esse) significat quod (si $p$ verum est, tunc $q$ verum est) et (si $q$ verum est, tunc $p$ verum est)
Aequivalentia materialis (2)	$(p\leftrightarrow q)⊢((p\wedge q)\vee (\mathrm{\neg }p\wedge \mathrm{\neg }q))$	($p$ idem ac $q$ valere) significat aut (et $p$ et $q$ vera esse) aut (et $p$ et $q$ falsa esse)
Aequivalentia materialis (3)	$(p\leftrightarrow q)⊢((p\vee \mathrm{\neg }q)\wedge (\mathrm{\neg }p\vee q))$	($p$ idem ac $q$ valere) significat, et (aut $p$ aut non $q$ verum esse) et (aut non $p$ aut $q$ verum ese)
Exportatio	$((p\wedge q)\to r)⊢(p\to (q\to r))$	De (si et $p$ et $q$ vera sunt, tunc $r$ verum est) possumus demonstrare (si $q$ verum est, tunc $r$ verum est, si $p$ verum est)
Importatio	$(p\to (q\to r))⊢((p\wedge q)\to r)$
Tautologia (1)	$p⊢(p\vee p)$	$p$ esse verum idem valet ac aut $p$ esse verum aut $p$ essev verum
Tautologia (2)	$p⊢(p\wedge p)$	$p$ esse verum idem valet ac et $p$ esse verum et $p$ esse verum
Tertium non datur	$⊢(p\vee \mathrm{\neg }p)$	aut $p$ aut non $p$ verum est
Lex contradictionis	$⊢\mathrm{\neg }(p\wedge \mathrm{\neg }p)$	quod et $p$ et non $p$ esse falsum, verum est

• Algebra Booleeana
• Associativitas (mathematica)
• Formula bene formata
• Logica
• Logica mathematica
• Mathematica discreta
• Ratio propositionum
• Theoria copiarum

Bibliographia

• Brown, Frank Markham. 2003. Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations. Editio 1a. Norwell, Massachusettae. Editio 2a. Mineolae Novi Eboraci: Dover Publications.
• Chang, C. C., et H. J. Keisler. 1973. Model Theory. Amstelodami, Hollandiae Septentrionalis.
• Hofstadter, Douglas. 1979. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-46-502656-2.
• Kohavi, Zvi. 1970, 1978. Switching and Finite Automata Theory. McGraw–Hill.
• Korfhage, Robertus R. 1974. Discrete Computational Structures. Novi Eboraci: Academic Press.
• Lambek, J., et P. J. Scott. 1986. Introduction to Higher Order Categorical Logic. Cantabrigiae: Cambridge University Press
• Mendelson, Elliot. 1964. Introduction to Mathematical Logic. D. Van Nostrand Company.