Arithmetica modularis

Horologium tempus monstrat secundum modulum 12.

Arithmetica modularis est arithmetica numerorum integrorum ratio. Theoria arithmeticae modularis a Carolo Friderico Gauss in Disquisitionibus Arithmeticis (anno 1801) edita est.

Numeri integri a et b dicuntur congrui secundum m si differentia b - a per numerum m dividi potest (sive numerus m differentiam b - a metitur, sive (b - a)/m est integer). Modulum appellamus m, et congruentiam notatione$$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$$denotamus.

Proprietates

Numeri congrui in arithmetica modulari sunt numeris aequalibus in arithmetica ordinaria similes:

• $a\equiv a$
• Si $a\equiv b$, erit $b\equiv a$
• Si $a\equiv b$ et $b\equiv c$, erit $a\equiv c$
• Si $a\equiv b$ et $c\equiv d$, erit $a+c\equiv b+d$
• Si $a\equiv b$ et $c\equiv d$, erit $ac\equiv bd$
• Si $a\equiv b$, erit $a^k\equiv b^k$(ubi $k\ge 0$)

At si $ka\equiv kb(\mathrm{mod}m)$, poterunt a et b esse incongrui.

• Si autem $ka\equiv kb(\mathrm{mod}m)$ et k ad m est primus, erit $a\equiv b$.

Si $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$, poterunt $c^a$et $c^b$esse incongrui secundum modulum m.

• Si autem $a\equiv b(\mathrm{mod}\phi (m))$ (ubi φ est Euleri functio φ) et c ad m est primus, erit quidem $c^a\equiv c^b(\mathrm{mod}m)$ (theorema Euleri).

Exemplum

Exempli causa, ponamus modulum 6; habemus $5+8\equiv 1(\mathrm{mod}6)$, quia 5 + 8 = 13, et 13 - 1 per 6 divisibilis est.

Secundum modulum 6, numeros hoc modo addimus:

Additio secundum modulum 6

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

Etiam possumus multiplicare secundum modulum 6:

Multiplicatio secundum modulum 6

+	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Quod 6 est numerus compositus, habemus numeros a, b ut sit a × b ≡ 0: 2 × 3, 4 × 3. (Quod, sine modulo, 2 × 3 = 6 et 4 × 3 = 6 × 2: hoc est, 6 metitur 2 × 3 et 4 × 3.) Si autem modulus est numerus primus, integri secundum talem modulum sunt corpus.

Nexus externi

• De arithmetica modulari apud Wolfram MathWorld

Bibliographia

Gauss, Carolus Fridericus. 1801. Disquisitiones arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.