Argumentum epsilon-delta

Argumentum epsilon-delta est definitio limitis, in mathematica. Definitio dicit:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$ significat

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0\text{ut}0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<ϵ$

Hoc est, si vis valorem f(x) esse prope quantitatem b, modo elege valorem x qui sit satis prope valorem a.

Exempli gratia, quid sit $\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2$ rogamus. Estne 4? Si $|x^2-4|<ϵ$, deinde scimus vel $(x^2-4)<ϵ$ (si x² > 4) vel $(4-x^2)<ϵ$ (si x² < 4).

Casus primus: si $x^2-4<ϵ$, deinde $(x+2)(x-2)<ϵ$, et $x-2<\frac{ϵ}{x+2}$. (Quod x est prope 2, licet dicere x + 2 > 0.) Et, si x² > 4, scimus x > 2.

Casus alter: si $4-x^2<ϵ$, deinde $(2+x)(2-x)<ϵ$, tum $2-x<\frac{ϵ}{2+x}$, hoc est $-(x-2)<\frac{ϵ}{x+2}$, et hic est casus ubi x < 2.

Habemus ergo: $|x-2|<\frac{ϵ}{x+2}$, quod est δ. Si vis x² esse proximum 4, igitur, valorem x elege sicut quantitas δ est satis parva. Si vis habere x² inter 3.99 et 4.01, ε = 0.01. Tum $2-x<\frac{ϵ}{x+2}=\frac{0.01}{x+2}<x-2$. Si x = 2.1, $\frac{0.01}{x+2}=1/410$, et $x^2\approx 4.0098$, ut voluisti. Et limes est 4.

Functio dicitur continua si, omnibus x in eius dominio, $\underset{x\to a}{\lim }=f(a)$.

Notae

• Carolus Weierstraß
• Epsilon
• Delta