Perfectio quadri

Perfectio quadri est ars algebrae elementariae in qua possumus reponere hanc expressionem

$x^2+bx$

cum

$(x+c{)}^2+d$

Presse habemus:

$\begin{array}{ccc}a{x}^2+bx+c& =& a(x^2+\frac{bx}{a})+c\\ & =& a(x^2+\frac{bx}{a}+(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}))+c\\ & =& a(x^2+2\frac{bx}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)-\frac{b^2}{4a}+c\\ & =& a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a}+c\end{array}$

Quadro perfacto, ulla formula cum quadratico polynomiale reduci ad unam cum quadratico polynomiale quadrato et constante potest.

Exemplum

• Exemplum facile est:

$x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2{)}^2-4$

• Nunc, difficilius exemplum adest in hoc antiderivativum inveniendo:

$\int \frac{dx}{9x^2-90x+241}.$

Denominator est

$9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241.$

Addendo (10/2)² = 25 to x² - 10x dat quadrum perfectum x² - 10x + 25 = (x - 5)². Ita invenimus

$9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5{)}^2+16.$

Sine integrale nostrum esse:

$\int \frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{(x-5{)}^2+(4/3{)}^2}=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{4}\arctan \frac{3(x-5)}{4}+C.$

• Aequatio quadratica
• Functio quadratica
• In factores resolutio
• Polynomium

Nexus externus

• Perfectio quadri apud PlanetamMathematicam