Fontem paginae Copia inspicere

{{L}}{{Vide discretivam|copia in re mathematica}}

'''Copia'''{{FD ref}} vel '''classis'''<ref>[[iarchive:arithmeticespri00peangoog/page/n16/mode/2up|Giuseppe Peano, ''Arithmetices principia: nova methodo'' (Fratres Bocca: 1889).]] {{ling|Latine}}.</ref> in [[mathematica]] est quorundam elementorum mathematicorum collectio. Secundum definitionem [[Georgius Cantor|Georgii Cantoris]], "copia est comprehensio elementorum cogitationis nostrae bene discretorum in unum". Quae definitio omni rigore mathematico carens postea substituta est [[Axioma|axiomatis]] ab [[Ernestus Fridericus Ferdinandus Zermelo|Ernesto Zermelo]] et [[Adolfus Abraham Halevi Fraenkel|Adolfo Fränkel]] positis, quibus efficitur ut excludatur [[antinomia Russelliana]] (de copia copiarum, quae semet ipsas non continent, num se ipsam contineat).
 
In [[philosophia]], copia sunt [[res (philosophia)|res]] [[abstractio|abstractae]].

== Denotationes et definitiones ==
=== Denotationes ===
* Copiae denotari solent parenthesibus "{" et "}" usurpatis initium aut finem copiae indicentibus. Sunt duae formae copiae: una elementa enumerans, exemplo {1,2} aut {Gaius, Petrus, Marcus}. Altera elementa describens variabili vel variabilibus et sententia vel sententiis usa: Ad quae elementa sententia sequens (''praedicatum'') pertinet, ante symbolis ''':''' aut '''|''' notatur variabilibus in parenthesibus "(" et ")" iterum adiectis. Ergo: <math> \lbrace x: \ S(x) \rbrace .</math> Si <math> x_0 </math> elementum  huius copiae sit (id est: valet praedicatum variabili <math> x_0 </math>), notatur <math> x_0 \in \lbrace x: S(x) \rbrace .</math>

* Tales <math> x </math> solent esse in copia ''superiore'' (id est: cuncta elementa quae illi etiam huic aliis fortasse addiditis insunt). Sit <math> X </math> talis copia superior, tum scribi solet <math> \lbrace x \in X: S(x) \rbrace .</math> Ut indicatur X talem esse copiam superiorem, scribi solet <math> X \supset \lbrace x \in X: S(x) \rbrace </math> aut <math> \lbrace x \in X: S(x) \rbrace \subset X.</math>

=== Definitiones ===
* Copia cui nulla elementa insunt ''vacua'' vel ''inanis'' appellatur. Notatur symbolis <math> \lbrace \rbrace </math> vel <math> \emptyset .</math>

* Copiae duae <math> A, B </math> ''eaedem'' vel ''aequae'' appellantur, si copiae alteri <math> A </math> eadem elementa ac alteri copiae <math> B </math> insunt. Aequivalens, si <math> A \subset B </math> et <math> B \subset A </math>. Ergo: <math> A=B \Leftrightarrow A\subset B \land B \subset A. </math>

* ''Coniunctioni'' duarum pluriumve copiarum omnia elementa e quaquam illarum insunt. Notatur symbolo <math> \cup </math>. Ergo: Sint <math> A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace </math> et <br /> <math> B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace .</math> Tum: <br /> <center> <math> A \cup B= \lbrace z: S_1(z) \text{ vel } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \lor S_2(z) \rbrace = \lbrace x\in A \lor y \in B \rbrace .</math> </center> 

* ''Sectioni'' duarum pluriumve copiarum sola ea elementa insunt, quae in unaquaquam eorum inveniuntur. Notatur symbolo <math> \cap </math>. Ergo: Sint <br /> <math> A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace </math> et <math> B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace .</math> Tum: <br /> <center> <math> A \cap B= \lbrace z: S_1(z) \text{ atque } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \land S_2(z) \rbrace  = \lbrace x\in A \land y \in B \rbrace .</math> </center> 

* ''Differentiae'' duarum copiarum <math> A </math> et <math> B </math> elementa ex <math> A </math> sola insunt quae copiae <math> B </math> non insunt. Notatur symbolo '''\'''.  Ergo: Sint <math> A= \lbrace x: S_1(x) \rbrace </math> et <br /> <math> B= \lbrace y: S_2(y) \rbrace .</math> Tum: <br /> <center> <math> A \setminus B= \lbrace z: S_1(z) \text{ atque non } S_2(z) \rbrace = \lbrace z: S_1(z) \land \neg S_2(z) \rbrace = \lbrace x\in A \land y \notin B \rbrace .</math> </center> 

* ''Productum [[Renatus Cartesius|Cartesianum]]'' duarum copiarum <math> A </math> et <math> B </math>, quod cruce <math> \times </math> denotatur, est copia haec: <math> A \times B = \lbrace (x/y): x \in A \text { atque } y \in B \rbrace = \lbrace (x/y): x \in A \land y \in B \rbrace. </math> 


Definitones super descriptae visuales per ''[[Diagramma Vennianum|diagrammata Venniana]]'' factae:
<gallery> 
Image:Venn A subset B.svg|<math>A \subset B</math><br />Copia A est copiae B inferior
Fasciculus:Venn0111.svg|<math>A \cup B</math><br />Coniunctio copiarum A&nbsp;et&nbsp;B
Image:Venn0001.svg|<math>A \cap B</math><br />Sectio copiarum A et B.
Image:Venn0100.svg|<math> A \setminus B</math><br />Differentia copiarum A et B
</gallery>

== Exempla ==
Sint <math> A = \lbrace 1,2,4,7 \rbrace </math> et <math> B = \lbrace 1,3,5,7,9 \rbrace </math>.

Tum: 

* <math> A \cup B = \lbrace 1,1,2,3,4,5,7,7,9 \rbrace = \lbrace 9,7,1,2,3,4,5 \rbrace .</math> Licet enim elementa semel vel compluries scribere. Ne ordo quidem interest.

* <math> A \cap  B = \lbrace 1,7 \rbrace. </math>

* <math> A \setminus B = \lbrace 2,4 \rbrace . </math>

* <math> A \times B = \lbrace (1/1),(1/3),(1/5),(1/7),(1/9),(2/1),(2/3),(2/5),(2/7),(2/9),(4/1),(4/3),(4/5),(4/7),(4/9),(7/1),(7/3),(7/5),(7/7),(7/9) \rbrace .</math>

[[Aequatio]] aliqua ut copia describens denotari potest et solutio eius aequationis copia enumerans est. Quae saepe - praecipue in scholis -  ''copia solutionum'' appellatur. [[Aequatio#Quomodo possumus solvere aequationes gradus secundi|Aequatio quadratica]] exemplo:

:<math> \lbrace x \in \mathbb R: x^2-2x-3 = 0 \rbrace = \lbrace -1;3 \rbrace .</math>

==Notae==
<references/>

{{NexInt}}
* [[Algebra Booleana (logica)|Algebra Booleana]] 
* [[Caterva (mathematica)|Carteva]]
* [[Classis]]
* [[Copia vacua]]
* [[N-plex]]
* [[Theoria copiarum]]

== Nexus externi ==
* [https://mathworld.wolfram.com/Set.html De copiis] in encyclopaedia Wolfram MathWorld {{ling|Anglice}}

[[Categoria:Mathematica]]
{{Myrias|Mathematica}}