Dependentia (statistica)

Formula:Latinitas Dependentia distributionis frequentiarum duobus characteribus in statistica est proprietas qua valores unius characteris illos alterius inflectunt.

Singillatim dicitur distributio frequentiarum dupla distributio cui inscribuntur frequentiae elementorum binis valoribus duorum characterum, tamquam:


	Valor primus, secundi characteris	Valor secundus, secundi characteris	Valor tertius, secundi characteris
Valor primus, primi characteris	$f_{11}$	$f_{12}$	$f_{13}$
Valor secundus, primi characteris	$f_{21}$	$f_{22}$	$f_{23}$
Valor tertius, primi characteris	$f_{31}$	$f_{32}$	$f_{33}$

Tabella haec tabella duplici ingressu vel tabella contingentiae dicitur.

Itaque licet dependentiam mentiri, exempli gratia, ut investigemusFormula:Dubsig mulieribusne stipendium minus persolvatur quam viris ("ergo stipendiineFormula:Dubsig magnitudo a sexu dependat"), vel generane quaedam alumnorum maius examinationibus proficiant alteris, vel quandocumque suspicemur valorem unius characteris ab altero dependere.

Distributiones duplae

Distributio dupla fere binis his elementis describitur:

$(x_{1}, y_{1}), . . ., (x_{N}, y_{N})$

ubi $x_{i}$ signum valorem characteris X designat atque $y_{i}$ characteris Y. Binis tamen quibusque valoribus adhibere potest frequentia coniuncta $n_{i j}$ , quae numerum elementorum designat valoribus characterum $x_{i}, y_{j}$ .

Exempli gratia ita potest tabella contingentiae fieri:


	$y_{1} = stipendio demisso$	$y_{2} = stipendio medio$	$y_{3} = stipendio alto$
$x_{1} = viri$	$n_{11} = 10$	$n_{12} = 20$	$n_{13} = 5$
$x_{2} = mulieres$	$n_{21} = 15$	$n_{22} = 24$	$n_{23} = 4$

Hae depingi possunt grapho dispersionis vel graho bullarum, hoc aptiore distributioni frequentiarum. Grapho dispersionis depinguntur omnia elementa singulo puncto coordinatis $(x_{i}, y_{i})$ (nec indecet duobus punctis esse easdem coordinatas); grapho bullarum depinguntur bini valores $(x_{i}, y_{i})$ circulo cuius magnitudo frequentiae coniunctae proportionalis est, coordinataeque valoribus aequales sunt.

Distributio marginalis

Appellatur distributio marginalis characteris X, distributione frequentiarum dupla, distributio simplex elementorum secundum hoc character. Itaque a tabella duplici ingressu deducitur, valores versuum aut columnarum summando.

Exempli gratia, tabella summi huius subcapituli in distributiones has marginales dissolvitur:

Frequentiae stipendiorum
	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$
Frequentia	10+15=25	20+24=44	5+4=9

Frequentiae sexuum
	Frequentia
$x_{1}$	10+20+5=45
$x_{2}$	15+24+4=43

Praecipue distributio marginalis characteris X littera $f_{X}$ designatur, eiusque frequentiae signis $n_{0 j}$ aut $n_{i 0}$ .

Distributio conditionata

Characteris $Y$ distributio conditionata valori $x_{i}$ characteris $X$ dicitur distributio secundum character $Y$ elementorum cuius valor est $x_{i}$ charactere $X$ . Itaque e tabella contingentiae educitur versibus aut columnis quibusdam eligendis, fereque $f_{Y | x_{i}}$ signo designatur.

Exempli gratia, haec sunt distributiones conditionatae stipendiorum ipsius tabellae prioris singulis sexibus:

Stipendia virorum (distributio conditionata valori $x_{1}$ )
	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$
Frequentia	10	20	5

Stipendia mulierum (distributio conditionata valori $x_{2}$ )
	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$
Frequentia	15	24	4

Independentia

Charactera $X$ atque $Y$ distributionis frequentiarum duplae statistice independentia dicuntur si subdicta aequatio vera habetur cunctis frequentiis coniunctis:

$n_{i j} = \frac{n_{i 0} \times n_{0 j}}{N}, \forall (i, j)$

Potest enim demonstrari tabella contingentiae tres has sententias una veras aut falsas esse (aequivalere):

$f_{X | y_{i}} = f_{X}, \forall i$ ;
$n_{i j} = (n_{i 0} \times n_{0 j}) / N, \forall (i, j)$ ;
$f_{Y | X_{i}}, \forall j$ .

Indipendentia enim quaeque distributio conditionata aequalis est marginali. Nisi una earum sententiarum vera est, omnes igitur tres falsae sunt, haberi dicitur dependentia statistica.

Tabella independentiae

Ad dependentiam distributionis duplae mentiendam, fere oportet eius tabellam contingentiae conferre et illam tabellam contingentiae, quae haberetur characteribus duobus ipsis independentibus.

Itaque definimus frequentias tabellae independentiae:

${\hat{n}}_{i j} = \frac{n_{i 0} \times n_{0 j}}{N}, \forall (i, j)$

Exempli gratia haec est tabella independentiae ipsius distributionis paragraphi prioris:


	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$
$x_{1}$	$(25 \times 45) / 88 \approx 12.78$	$(44 \times 45) / 88 = 22.5$	$(9 \times 45) / 88 \approx 4.6$
$x_{2}$	$(25 \times 43) / 88 \approx 12.21$	$(44 \times 43) / 88 = 21.5$	$(9 \times 43) / 88 \approx 4.4$

Ex his frequentiis etiam licet definire contingentias:

$c_{i j} = \frac{n_{i j} - {\hat{n}}_{i j}}{{\hat{n}}_{i j}}$

Itaque possumus nunc indicem dependentiae characterum definire per medietatem quadraticam ponderatam contingentiarum ad secundam potentiam dignatarum numeris ${\hat{n}}_{i j}$ ponderibus:

$ψ = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} \frac{(n_{i j} - {\hat{n}}_{i j})^{2}}{{\hat{n}}_{i j}}} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} \frac{n_{i j}^{2}}{n_{i 0} \times n_{0 j}} - 1}$

Hic index cum tabella contingentiae longius a tabella independentiae differat, magis augetur, nullusque est independentia.

Alter index priori conexus est:

$χ^{2} = N ψ^{2} = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} \frac{(n_{i j} - {\hat{n}}_{i j})^{2}}{{\hat{n}}_{i j}} = N \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} \frac{n_{i j}^{2}}{n_{i 0} \times n_{0 j}} - 1$

Normalizatio indicis dependentiae

Primum dicendum est, indicem supradictum valorem suum maximum attingere cum tabella contingentiae sit tabella dependentiae perfectae.

Singillatim, si plus est valorum characteri X quam characteri Y, dicitur tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X tabella contingentiae cui (si columnae ad character Y pertinent) omni columnae solae frequentiae nullae sint omni versu excepto uno. Exempli gratia:


	$y_{1}$	$y_{2}$
$x_{1}$	$0$	$3$
$x_{2}$	$5$	$0$

Si numerus valorum duorum characterum adaequat, potest haberi dependentia perfecta characteris X ab Y versaque vice.

Valorem tamen maximum $\sqrt{t - 1}$ , si $t \leq s$ , adipiscitur index $ψ$ cum tabella contingentiae sit tabella dependentiae perfectae characteris Y a charactere X, ubi $t$ littera numerum valorum characteris Y designat, atque $s$ valorum characteris X.

Ab hac definitione itaque potest definiri index Cramérianus:

$C = \frac{ψ}{\sqrt{m i n [(s - 1), (t - 1)]}}$

Qui inter $[0, 1]$ comprehenditur.

Demonstratio indicis Cramériani valendi

Primum ad secundam dignemus indicem dependentiae potentiam:

$ψ^{2} = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} \frac{n_{i j}^{2}}{n_{i 0} n_{0 j}} - 1$

Cum uno sit fractio $n_{i j} / n_{i 0}$ minor, scribi potest:

$\frac{n_{i j}^{2}}{n_{i 0} n_{0 j}} \leq \frac{n_{i j}}{n_{0 j}} \to ψ^{2} \leq \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 2}^{t} \frac{n_{i j}}{n_{0 j}} - 1 = \sum_{j = 1}^{t} \frac{1}{n_{0 j}} \sum_{i = 1}^{s} n_{i j} - 1 = \sum_{j = 1}^{t} 1 - 1$

quod scimus $\sum_{i = 1}^{s} n_{i j} = n_{0 j}$ . Valet igitur: $ψ^{2} \leq t - 1$ ; quae duo membra modo adaequant, si $\frac{n_{i j}^{2}}{n_{i 0} n_{0 j}} = \frac{n_{i j}}{n_{0 j}} \to n_{i j} = n_{i 0}$ , quod sola dependentia perfecta characteris Y a charactere X evenit.

Item a disaequatione supradicta videmus valere $\frac{n_{i j}^{2}}{n_{i 0} n_{0 j}} \leq \frac{n_{i j}}{n_{i 0}}$ , et eisdem computationibus edici potest $ψ^{2} \leq s - 1$ membraque adaequare sola dependentia perfecta characteris X a charactere Y.

E quo duobus deducitur:

$ψ^{2} \leq m i n (s - 1, t - 1), \exists ψ : ψ^{2} = m i n (s - 1, t - 1) \to m a x ψ = \sqrt{m i n (s - 1, t - 1)}$

Dependentia media

Notandum est facilius computari ita medietas arithmetica distributionum conditionatarum marginaliumque:

$μ_{Y} (x_{i}) = \frac{1}{n_{i 0}} \sum_{j = 1}^{t} y_{j} n_{i j}$

$μ_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{j = 0}^{t} y_{j} n_{0 j}$

Itaque ab his potest definiri dependentia media. Singillatim character Y dicitur medie dependere a charactere X medietatibus arithmeticis distributionum conditionatarum characteris Y inter se differentibus.

Ad hanc mentiendam, oportet scire medietatem distributionis marginalis esse medietatem ponderatam medietatum distributionum conditionatarum:

$μ_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{s} μ_{Y} (x_{i}) n_{i 0}$

Itaque dependentiam mediam sumus mensuri deviantia medietatum conditionatarum:

$D_{E} = \sum_{i = 1}^{s} (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y}) n_{i 0}$

Decompositio deviantiae

Index supradictus invenitur in decompositio deviantiae totalis distributionis marginalis, in deviantiam explicitam ac deviantiam residuam:

$D_{Y} = D_{E} + D_{R} = \sum_{i = 0}^{t} (y_{i} - μ_{Y})^{2} n_{0 j} = \sum_{i = 1}^{s} (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y})^{2} n_{i 0} + \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y} (x_{i}))^{2} n_{i j}$

Ab hac definiri potest corrationalitas correlationis:

$η_{Y}^{2} = \frac{D_{E}}{D_{Y}} = 1 - \frac{D_{R}}{D_{Y}}$

quae inter $[0, 1]$ comprehenditur.

Demonstratio decompositionis deviantiae

Patet:

$\sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y})^{2} n_{0 j} = \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y})^{2} \sum_{i = 1}^{s} n_{i j} = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y})^{2} n_{i j}$

Medietatesque conditionatas cum addiderimus subtraxerimusque in differentiam illam, id fit:

$\sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} ((y_{j} - μ_{Y} (x_{i})) + (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y}))^{2} n_{i j}$

Et binomio quadrato evoluto sic membrum expanditur:

$\sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{i} - μ_{Y})^{2} n_{i j} = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y} (x_{i}))^{2} n_{i j} + \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y})^{2} n_{i j} + 2 \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y} (x_{i})) (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y}) n_{i j}$

Ubi postremum membrum nullum. Multiplicatio enim est differentiarum inter elementa medietatesque:

$2 \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y} (x_{i})) (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y}) n_{i j} = 2 \sum_{i = 1}^{s} (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y}) \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y} (x_{i})) n_{i j} = 0$

Computationibus peractis videmus:

$\sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y})^{2} n_{0 j} = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y})^{2} n_{i j} = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{t} (y_{j} - μ_{Y} (x_{i}))^{2} n_{i j} + \sum_{i = 1}^{s} (μ_{Y} (x_{i}) - μ_{Y})^{2} n_{i 0}$

quod erat demonstrandum.

Bibliographia

Cicchitelli, D'Urso, Minozzo, 2018. Statistica: principi e metodi. Pearson. ISBN 9788891902788.