Theoremata Gödel de imperfectione

Monumentum in aedibus ubi Gödel Vindobonae annis 1937–1939 habitabat.

Theoremata Gödeliana de imperfectione sunt duo theoremata theoriae facultatis calculandi a Curtio Gödel inventa, quae imperfectam omnium theoriarum de numeris naturalibus naturam demonstrant.

Theorema primum

Expositio

Theorema. Sit theoria $T$, quae est copia sententiae primi ordinis, signatura $S:=\{0,+,\cdot ,<,E\}$. Si $T$ est perfecta et congruens, in qua continentur axiomata PA, tum $T$ non est copia RE.

Nota bene:

• $T$ perfecta dicitur, si cuique sententia primi ordinis $\sigma$, aut $T⊢\sigma$ aut $T⊢\mathrm{\neg }\sigma$.
• $T$ congruens dicitur, si non est sententia primi ordinis $\sigma$, ut $T\models (\sigma \wedge \mathrm{\neg }\sigma )$.

Demonstratio brevis

Numeri Gödel

Sit signatura primi ordinis ut $S$, quae est countabilis. Lingua igitur huius signaturae quoque countabilis est.

Lemma a Gödel monstratum est, quod functionem $\mathrm{♯}:L_S\to \mathbb{N}$ esse dicat, ut sit functio arithmetica uni cuique operationi formularum in $L_S$. Ut, exempli gratia, operatio $\wedge$, quae duas formulas colligat. Hoc lemma ait functionem arithmeticam esse, quae tantum signis in $S$ utens numerus formulae $(\varphi \wedge \psi )$ calculat ab numeris formularum $\varphi$ et $\psi$. Responsa huius functionis numeri Gödel nominata sunt.

Sit autem $\varphi$ formula. Demonstratio formalis est series finita formularum quae $\varphi$ ab formulis in $T$ concipiunt. Si demonstratio formalis est formulae $\varphi$, dicamus $T⊢\varphi$. Scilicet igitur cuique demonstrationi formali est series finita numerorum Gödel, quae in unum numerum imponi potest. Formulam igitur ${\mathrm{Prv}}_T(n)$ nancisci possumus, ut

$T⊢\varphi ⟹T⊢{\mathrm{Prv}}_T(\mathrm{♯}\varphi )$

Quare? Haec formula tantum dicit numerum seriei formularum esse, quae est demonstratio formalis formulae $\varphi$.

Lemma de puncto immobili

Sit theoria $T$ congruens et RE, axiomata Peano continens. Tum fieri potest ut sententiam $\gamma$ nanciscamur, ut $T⊢(\gamma \leftrightarrow \mathrm{\neg }{\mathrm{Prv}}_T(\mathrm{♯}\gamma ))$.

Demonstratio theorematis

Sit theoria $T$ congruens, RE et perfecta, ita ut cuique sententiae $\sigma$, aut $T⊢\sigma$ aut $T⊢\mathrm{\neg }\sigma$. Sit $\gamma$ ut dixi. Sed,

• Si $T⊢\gamma$, igitur $T⊢\mathrm{\neg }{\mathrm{Prv}}_T(\mathrm{♯}\gamma )$. Sed est scilicet demonstratio formalis formulae $\gamma$, igitur $T⊢{\mathrm{Prv}}_T(\mathrm{♯}\gamma )$. Igitur $T$ non est congruens.
• Si $T⊢\mathrm{\neg }\gamma$, igitur $T⊢{\mathrm{Prv}}_T(\mathrm{♯}\gamma )$. Ergo est demonstratio formalis formulae $\gamma$, ergo $T⊢\gamma$. Ergo $T$ non est congruens.

Ergo nulla theoria $T$ est, quod erat demonstrandum.

Theorema secundum

Expositio

Theorema. Sit theoria RE $T$, quae axiomata PA continet. Si $T$ se esse congruentem demonstrat, tum $T$ non est congruens.

Nota bene:

• $T$ est congruens, si nulla formula $\varphi$ inveniri potest, ut $T⊢(\varphi \wedge \mathrm{\neg }\varphi )$.
• Ergo, $T$ se esse congruentem demonstrat, si $T⊢{\mathrm{Cons}}_T$, in quo ${\mathrm{Cons}}_T$ sententia est ut:

${\mathrm{Cons}}_T:=\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }n({\mathrm{Prv}}_T(n)\wedge {\mathrm{Prv}}_T(\mathrm{neg}(n)))$

ubi $\mathrm{neg}(\mathrm{♯}\varphi ):=\mathrm{♯}(\mathrm{\neg }\varphi )$ cuique $\varphi$. Hoc igitur theorema alio modo exponitur:

"Si $T⊢{\mathrm{Cons}}_T$, tum $T$ non est congruens."

Bibliographia

Theoremata ipsa

• Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-98.

De theorematis

• Baaz, Matthias, Christos H. Papadimitriou, Hilary W. Putnam, Dana S. Scott, et Charles L. Harper, Jr. 2011. Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 9780521761444.
• Berto, Francesco. 2008. Tutti pazzi per Gödel!: la guida completa al teorema di incompletezza. Romae: Laterza. ISBN 9788842085904.
• Delessert, André. 2000. Gödel: une révolution en mathématiques: essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens. Lausannae: Presses polytechniques et universitaires romandes. ISBN 9782880744496.
• Deutsch, Michael. 2003. Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit über Nachfolgerbereichen. Bremae: Universitätsdruckerei Bremen. ISBN 9783887225780.
• Díaz Estévez, Emilio. 1975. El teorema de Goedel. Pompelone: Ediciones Universidad de Navarra. ISBN 9788431303938.
• Nagel, Ernst, et James R. Newman. 1958. Gödel's Proof. Novi Eboraci: New York University Press. OCLC 523475.

• Entscheidungsproblem
• Ignoramus et ignorabimus
• Philosophia mathematicae