Fontem paginae Combinatio linearis inspicere

In [[Mathematica|mathematica,]] '''combinatio linearis''' est summa [[Copia|copiae]] [[Vector (mathematica)|vectorum]] scalaribus quibusdam quorumque multiplicatorum.

== Definitio ==
Sit [[spatium vectoriale]] <math>V</math>; ''combinatio linearis'' vectorum <math>v_1...v_k</math> ex spatio <math>V</math> coefficientibus <math>\alpha_1...\alpha_n \in\R</math>, est is vector:

<math>\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n\in V</math>

== Subspatium genitum ==
Si sunt vectores <math>v_1...v_n</math>, eorum ''subspatium genitum'' est copia universarum possibilium combinationum linearium eorum:

<math>Span(v_1...v_n)=\{\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n: \alpha_1...\alpha_n\in\R\}</math>

Potest demonstrari subspatium genitum esse [[Spatium vectoriale#Subspatium vectoriale|subspatium vectoriale]]. Subspatium genitum enim clausum est summae:

<math>(\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n)+(\beta_1v_1+...+\beta_nv_n)=(\alpha_1+\beta_1)v_1+...+(\alpha_n+\beta_n)v_n</math>

quod rursus est combinatio linearis vectorum <math>v_1...v_n</math>.

Simili ratione, subspatium genitum clausum est multiplicationi scalaribus:

<math>\lambda(\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n)=(\lambda\alpha_1)v_1+...+(\lambda\alpha_n)v_n</math>

quod est combinatio linearis ipsorum vectorum.

Subspatium genitum igitur est subspatium vectoriale, quia clausum est summae multiplicationique scalaribus.

Huius rei unum corollarium est systemati [[Aequatio|aequationum]] <math>Ax=b</math> adesse solutiones modo si vector <math>b</math> subspatio inest genito columnarum [[Matrix (mathematica)|matricis]] <math>A</math>.

== Independentia linearis ==
Dicitur [[copia]] [[Vector (mathematica)|vectorum]] <math>v_1...v_n\in V</math> ex spatio vectoriali <math>V</math> ''lineariter dependens'' si sunt coefficientes [[Numerus realis|reales]] <math>\alpha_1...\alpha_n\in\R</math> quibus valeat:

<math>\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n=\underline{0}</math>

neque sunt omnes nulli, ergo adest <math>\alpha_i</math> unus vel plus qui non <math>=0</math>.

Nisi vectores sunt lineariter dependentes, ''lineariter independentes'' dicuntur, eisque modo valet <math>\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n=\underline{0}</math> cum omnes coefficientes nulli sint: <math>\alpha_1...\alpha_n=0</math>.

Independentia linearis vectorum aliquorum potest probari ex vectoribus faciendo [[Matrix (mathematica)|matricem]] <math>A=|v_1...v_n|</math> et systema [[Aequatio|aequationum]] solvendo <math>Ax=\underline{0}</math>: cum enim sola solutio sit <math>x=\underline{0}</math>, vectores sunt independentes, quod si adesset solutio <math>\beta</math> quae non esset nulla, tum valuisset <math>\beta_1v_1+...+\beta_nv_n=0</math>, quae esset definitio independentiae linearis.

== Vide etiam ==

* [[Vector (mathematica)]]
* [[Systema coordinatarum]]

== Bibliographia ==

* Abate, De Fabritiis, [[2015]]. ''Geometria analitica con elementi di algebra lineare.'' McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.

[[Categoria:Algebra linearis]]